1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K ví như F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/u

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm gồm 3 tính chất đặc trưng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các cách thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN để tìm nguyên hàm

a) Đổi biến hóa tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong đó φ(x) là hàm số nhưng ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: bộc lộ f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân hai về dt = – 3sinx.dxBước 3: biểu hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến tấu 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u cùng dv: tìm kiếm được v tiện lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: đồ vật tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm nhiều thức, các chất giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm kiếm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy tra cứu f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đã hướng dẫn phương pháp bấm laptop nguyên hàm cấp tốc theo 3 cách sau:

Bước 1: thừa nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight) – fleft( X ight)$

Bước 2: dìm phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá bán nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án phải chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm lắp thêm tính

Bước 1: Nhập vào laptop casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A và C nếu đến X = 2 thì đa số cho công dụng là 0. Vậy khi bao gồm trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất thì mang đến X một giá bán trị đến biểu thức trong trị tuyệt vời âm.

Kết luận: Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Ý Nghĩa Số 13 Trong Phật Giáo, Ý Nghĩa Của Vòng Phong Thủy 13 Hạt Theo Phật Giáo

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một nhiều thứcTa lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, triển khai theo quá trình sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nạm vào bí quyết nguyên hàm từng phần.Bước 3: tiếp tục thủ tục như bên trên ta vẫn khử được bậc của nhiều thức.

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong số ấy $A(x)$ và $B(x)$ là những đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: lấy đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số bất định ta xác minh được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của đa thức lớn hơn $3$ thì giải pháp 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc ấy ta triển khai số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, vì vậy ta đi đến đánh giá như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ tuổi hơn hoặc bằng $2$: Ta áp dụng cách 1.Nếu bậc của nhiều thức lớn hơn hoặc bằng $3$: Ta áp dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhấn xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng tốt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$